Difference between revisions of "Absolute value"

Latest revision as of 23:05, March 1, 2021

Absolute value is a function measuring a number's distance from zero. The absolute value of Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} is written $|x|$ .

If $x$ is a positive number, then $|x|=x$ .
If $x$ is a negative number, then $|x|=-x$ .
If $x=0$ then $|x|=0$ .

For example, $|-3|=3$ , and $|5|=5$ . Notice that $|x|$ is never negative.

Absolute value has several useful properties. One is the multiplicative property. If $x$ and $y$ are two numbers, then $|xy|=|x|\times |y|$ . Another is the triangle inequality, which is the fact that $|x+y|\leq |x|+|y|$ . For example, if $x=3$ and $y=-5$ , then Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x+y| = |3 + (-5)| = |3 - 5| = |-2| = 2} , while Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x| + |y| = |-5| + |3| = 5 + 3 = 8} . In this case, the triangle inequality is the fact that 2 is not more than 8.

If Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} is a real number, then Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{x^2} = |x|} . The absolute value is necessary because the principal square root is, by definition, nonnegative.

Complex numbers also have an absolute value (sometimes called the modulus). If Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z = x+iy} is a complex number with real part Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} and imaginary part Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} , then Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |z| = \sqrt{x^2 + y^2}} . If we represent Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} as a point in the complex plane with coordinates Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x,y)} , then Failed to parse (MathML with SVG or PNG fallback (recommended for modern browsers and accessibility tools): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |z|} is the distance from this point to the origin. The absolute value of complex numbers also has the multiplicative property and satisfies the triangle inequality.

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-<pre>                                                                             7MM?
+'''Absolute value''' is a [[function]] measuring a number's distance from zero.  The absolute value of <math>x</math> is written <math>|x|</math>.
-                                                                          MMMMM7MM
-                    MMM+ $MMM                                           MMMMD    ,M  MMMMM
-                  M   MMM   MM                                         MMM       MMMMM   MM
-             OM       MO   MM                                         MMN        MMM      MM
-           ,M  MM,        MM                                         MMI        MMM        M
-           M   MMM       MMM                                        MM?        MM          MM
-           M   NM        MM                                        MM         MM           MM
-       M MMM             MM                                       MMM         M            MM
-      M   NM             MMM                                      MM         M             MM
-                 MM MMM                                   MM         M              MMMMMM
-       M               MM    MMM                                :MM         M             MMMMI7M
-       M                 M    MMM                               MM         +             MMM   MM
-       M        MMMM=     M   +MM                              ,MM                     MMM    MMM+
-      M  8M    MMMMMM     NM   MMM                             MM                    MMM,    MMMIMM
-    ID    MM   MMMMM       M     M+                           NMM                   MMD     MM   MM
-   M   MM  MMMM            M      MM                          MM        NMM        MN     MM    NMM
-  M:  M       MM           M       OM                        MMMMMMMMMMM,                      ,MM
-  M      $ MI             MM         MM                    MMMMMMMMM                          ~MM
- M  MM   M               MM           OM                OMMMN                                MMM
-MMMMMZ  M               MM,             MN         MMMMMMM                                  MMM
-     =MM               MM                MM     NMMMMMM                                   DMMMMM
-       MZ        M?NMMM                  MMM   MM                                       +MM   MM
-       MM       ~MM                       MMMMM                                       MM     MMMMM,
-        M       MMM                       MMM                                      M      ZMM   MMM
-         MM    ,M:                         MM                                                   MM
-          MMMMMM                           MM                                                  MM
-          M+                            M  MM                                               NMMMM
-          M+                             M MM                                               MMMM
-         MM                              MMMM                                                MMM
-         MM                              7MMM                                                 MM
-        MM                                MO                                                  MM
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-      +MZ                                ZM                                                   MM
-      MM                               M MM                                                   MM
-     MM                               $MMM                                                    MM
-    MM,                               MM                                                      MM
-    MM  M                            ?M$                                                     MM
-   NM~ M                             MI                                                     MMM
-   MM MM                            M                                             M        MMM
-   MMMM            M              M                                                MM    MMMM
-    :MM      IM   M                                                               MMMMMMMMM
-     MM     ,MMMMM                                                         M     MMZ   DMMO
-     ?M    MM+                                                             M$   MMM      MM
-      ZMMMMM                                M                             MMMMMMMM        M
-      $M                                   $                             MMM  N           M:
-      MM                                   M                           MMMM               MD
-      MM                                   M          M               MMMZ                M8
-      MM                                   ?        MMM             MMMM                  M
-      MM                                    M   OMMM8  M    MM MMMMMMN                   +M
-M                                     MMMMM,      MMMMMMMM7                       MM
-       M                                                  MM~                            MM
-        M                                                                               MMN
-        MM                                                                             MMM
-         MM                                                                           +MM~
-MM                                                                         MMM$
-           MMM8                                                                     MMMZ
-            DMMM                                                                  MMMM
-               MN                                                              MMMMMN
-                MMM7                                                         MMMMMI
-                  MMMMMMMMMMMMMMMM:                                         MMM
-                                 :MMMMD                ~                  MMMM
-                                  MMMMMMMM$        MMMMMMM    D         :MMMM
-                                  MO  MMM  DMMMMMMMMMMMO~MMMMMMMM   7MMMMMM
-                                 MM   MMN                        MMMMMMMMM
-MMMMMMMM    MM                          MM~MMMM=
-                    ,MMMMMM:          7MM                         MM   MM
-                  MMM7    :~?I          8MM                       MM   MM
-                MMMMMMMMMMMMMMM           MMM                  +MMM,    MM
-                MMD       MMM,   MMMMMMM    MM+             ?MMM=        ZMM
-                          MM  NMMMMMI   +MMM  M           MMMM              MMM
-                         MM  MMMM           MD8M         MMM   MMMMM           MM
-                         MM MMMN             MMZ         M  MMMMMMMMMM   MMMM8   MM
-                          M,MM                          M$ MM        MN  MMMMMMMM MM
-                           M+                           MMM           M  MM      DMM
-                                                        MZ            MM MM        $
-                                                                      MM MM
-                                                                      MMMM
-                                                                      NM=
-</pre>
-The '''absolute value''' of a number is a measure of the size of that number.  The absolute value of <math>x</math> is written <math>|x|</math>.
-:If <math>x</math> is a positive number, then <math>|x| = x</math>.
+*If <math>x</math> is a positive number, then <math>|x| = x</math>.
+*If <math>x</math> is a negative number, then <math>|x| = -x</math>.
+*If <math>x=0</math> then <math>|x| = 0</math>.
-:If <math>x</math> is a negative number, then <math>|x| = x</math>.
+For example, <math>|-3| = 3</math>, and <math>|5| = 5</math>.  Notice that <math>|x|</math> is never negative.
-:If <math>x=0</math> then <math>|x| = 0</math>.
+Absolute value has several useful properties.  One is the ''multiplicative'' property.  If <math>x</math> and <math>y</math> are two numbers, then <math>|xy| = |x| \times |y|</math>.  Another is the ''triangle inequality'', which is the fact that <math>|x+y| \leq |x| + |y|</math>.  For example, if <math>x = 3</math> and <math>y = -5</math>, then <math>|x+y| = |3 + (-5)| = |3 - 5| = |-2| = 2</math>, while <math>|x| + |y| = |-5| + |3| = 5 + 3 = 8</math>.  In this case, the triangle inequality is the fact that 2 is not more than 8.
-Absolute value has several useful properties.  One is the ''multiplicative'' property.  If <math>x</math> and <math>y</math> are two numbers, then <math>|xy| = |x| \times |y|</math>.  Another is the ''triangle inequality'', which is the fact that <math>|x+y| \leq |x| + |y|</math>.  For example, if <math>x = 3</math> and <math>y = -5</math>, then <math>|x+y| = |3 + (-5)| = |3 - 5| = |-2| = 2</math>, while <math>|x| + |y| = |-5| + |3| = 5 + 3 = 8</math>.  In this case, the triangle inequality is the fact that 2 is not more than 8.
+If <math>x</math> is a [[real number]], then <math>\sqrt{x^2} = |x|</math>.  The absolute value is necessary because the principal [[square root]] is, by definition, nonnegative.
-[[Complex number]]s also have an absolute value.  If <math>z = x+iy</math> is a complex number with real part <math>x</math> and imaginary part <math>y</math>, then <math>|z| = \sqrt{x^2 + y^2}</math>.  If we represent <math>z</math> as a point in the complex plane with coordinates <math>(x,y)</math>, then <math>|z|</math> is the distance from this point to the origin.  The absolute value of complex numbers also has the multiplicative property and satisfies the triangle inequality.
+[[Complex number]]s also have an absolute value (sometimes called the modulus).  If <math>z = x+iy</math> is a complex number with real part <math>x</math> and imaginary part <math>y</math>, then <math>|z| = \sqrt{x^2 + y^2}</math>.  If we represent <math>z</math> as a point in the complex plane with coordinates <math>(x,y)</math>, then <math>|z|</math> is the distance from this point to the origin.  The absolute value of complex numbers also has the multiplicative property and satisfies the triangle inequality.
 [[Category:Algebra Terms]]
-[[Category:Algebra]]
-[[Category:Mathematics]]

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